A resposta curta é sim, com uma condição óbvia: você só pode registrar como marca o nome que é seu.
A Lei de Propriedade Industrial (Lei 9.279/96), no artigo 124, inciso XV, veda o registro de "nome civil ou sua assinatura, nome de família ou patronímico e imagem de terceiros, salvo com consentimento do titular, herdeiros ou sucessores". Traduzindo: você não pode registrar o nome de outra pessoa como marca sem a autorização dela (ou dos herdeiros, se ela já faleceu). Mas o seu próprio nome, o consentimento é seu mesmo, e a barreira não existe.
Por que tanta gente que usa o próprio nome no negócio não registra
É comum um profissional liberal, um chef, um designer ou um advogado usar o próprio nome como marca do negócio, e nunca ter registrado formalmente, porque parece redundante. "É meu nome, ninguém pode me impedir de usar."
Só que existe uma diferença entre usar seu nome no dia a dia e ter esse nome registrado como marca. Sem o registro, você continua podendo se chamar como se chama, mas não tem exclusividade sobre o uso comercial daquele nome pro seu tipo de produto ou serviço. Outra pessoa com o mesmo nome, ou até uma empresa usando seu nome de forma diferente, pode acabar registrando antes de você.
O que muda quando o nome vira marca registrada
Quando o seu nome está registrado como marca, você passa a ter o direito de impedir que outros usem esse nome, ou um nome parecido, pro mesmo tipo de negócio ou de um jeito que confunda o consumidor. Isso importa especialmente pra quem constrói reputação em cima do próprio nome: médicos, advogados, artistas, chefs, consultores, criadores de conteúdo.
Vale lembrar também que registrar o próprio nome como marca não impede que outras pessoas com o mesmo nome civil continuem se identificando normalmente. O que o registro protege é o uso comercial daquele nome associado a um produto ou serviço específico, dentro das classes registradas, não o direito de qualquer pessoa homônima existir.